Rappels d'électrocinétique


Sylvain Tisserant - ESIL



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Index

Régime permanent sinusoïdal

  1. Grandeurs caractéristiques des signaux périodiques
  2. Représentations d'une grandeur sinusoïdale
  3. Impédances complexes
  4. Associations d'impédances
  5. Puissance en régime sinusoïdal

Associations d'impédances

Un exemple

Considérons un circuit RLC soumis à une excitation sinusoïdale v(t) = V sin wt. Etudions le courant i(t), lorsque le régime permanent est atteint :

Nous pouvons écrire la tension aux bornes du générateur et aux bornes des trois dipôles en série :

Ce qui nous donne comme équation différentielle :

ou

La solution d'une telle équation est la superposition d'une solution de l'équation sans second membre (le régime transitoire) et d'une solution particulière de l'équation complète (le régime permanent).

Nous avons vu que sauf pour R = 0 les solutions de l'équation sans second membre tendent toutes rapidement vers un courant nul.

Comme v(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation w , on peut choisir une solution particulière de l'équation complète de la forme :

Nous pouvons résoudre l'équation différentielle en utilisant la notation complexe :

L'équation devient :

Soit :

avec

L'impédance peut être notée :

où X(jw) est la réactance du circuit. Notons Z le module de l'impédance :

Nous pouvons réécrire la relation entre la tension et l'intensité sous la forme :

Multiplions chacun des deux membres par son conjugué, nous obtenons :

Ce qui nous permet d'écrire pour l'amplitude de l'intensité :

D'autre part, pour déterminer le déphasage de l'intensité par rapport à la source de tension, nous avons :

Donc :

et

L'impédance du circuit RLC varie avec la pulsation. Elle est minimale pour la pulsation propre du circuit :

L'intensité est alors en phase avec la source de tension. La courbe ci-dessous montre la variation de l'amplitude de l'intensité (ou sa valeur efficace) pour une tension donnée en fonction de la pulsation de la source. Nous avons un phénomène de résonance à w0.

 

Calculons pour quelle pulsation nous avons :

c'est-à-dire :

Il nous faut résoudre :

Cette équation a pour discriminant :

Les solutions sont donc de la forme :

Nous ne conservons que les solutions positives, c'est-à-dire :

On définit le facteur de qualité du circuit RLC comme :

Ce facteur de qualité caractérise la largeur de la résonance. Celle-ci est d'autant plus étroite que le facteur de qualité est grand. En reportant les expressions des trois pulsations nous obtenons pour le facteur de qualité :

 

Notation complexe et lois de base

Grâce à la notation complexe toutes les lois de base (nœuds, mailles, association en série, association en parallèle, superposition, Norton, Thévenin, Millman, etc.) qui ont été obtenues pour les réseaux de résistances en régime continu restent valables en régime permanent sinusoïdal, les impédances jouant le rôle des résistances. C'est-à-dire qu'il est possible d'écrire les équations régissant l'étude d'un circuit sans passer par les équations différentielles.

Reprenons l'exemple précédent. Remplaçons chaque dipôle par son impédance, nous pouvons modéliser le circuit comme indiqué sur la figure suivante. En procédant à partir de ce schéma comme nous savons le faire en régime continu, nous pouvons écrire :

 

Nous retrouvons la même relation que dans le paragraphe précédent :


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Dernière mise à jour : par Sylvain Tisserant