Rappels d'électrocinétique


Sylvain Tisserant - ESIL



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Index

Régime permanent sinusoïdal

  1. Grandeurs caractéristiques des signaux périodiques
  2. Représentations d'une grandeur sinusoïdale
  3. Impédances complexes
  4. Associations d'impédances
  5. Puissance en régime sinusoïdal

Représentations d'une grandeur sinusoïdale

Pour faciliter les calculs il est possible de faire appel à deux représentations des grandeurs sinusoïdales. Ces deux représentations consistent à associer à une grandeur sinusoïdale un vecteur tournant dans un plan. La projection de ce vecteur sur un des deux axes peut alors donner accès à la grandeur considérée. La représentation peut être graphique, il s'agit de la représentation de Fresnel. Elle peut être analytique. En effet à tout vecteur on peut associer un nombre complexe dont la partie réelle est égale à une composante de ce vecteur et la partie imaginaire à l'autre composante dans un repère orthonormé.

Représentation de Fresnel

Le vecteur de Fresnel associé à un signal sinusoïdal est un vecteur tournant dont la vitesse angulaire est égale à la pulsation du signal. La norme de ce vecteur est égale à l'amplitude du signal et l'angle polaire est à tout instant égal à la phase instantanée du signal. La valeur algébrique du signal est donnée par la projection du vecteur tournant sur l'axe vertical.

Lorsqu'on ne compose que des signaux de même période, on ne s'intéresse en fait qu'aux déphasages relatifs. Il n'est donc pas nécessaire de faire tourner la figure. On se contente d'un vecteur fixe ayant pour norme l'amplitude du signal et pour angle polaire son déphasage.

Notation : I = I Ð  j

Intéressons nous à la somme de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence :

Il vient :

Nous pouvons introduire deux paramètres réels A > 0 et f, tels que :

avec :

En reportant dans l'expression de Y(t) nous obtenons :

Nous aurions pu raisonner directement sur la figure suivante et à partir de celle-ci retrouver l'amplitude A et f le déphasage du vecteur somme des deux vecteurs représentant les fonctions y1 et y2.

Nous avons vu dans le chapitre précédent que la mise en équation de certains dipôles fait intervenir la dérivation ou l'intégration. Essayons de voir comment peuvent se traduire ces opérations dans la représentation de Fresnel. Considérons une fonction sinusoïdale :

Dérivons cette fonction :

La dérivée correspond à la multiplication de l'amplitude par la pulsation w et se trouve en quadrature avance par rapport au signal. De même intégrons la fonction :

La primitive correspond à la division de l'amplitude par la pulsation w et se trouve en quadrature retard par rapport au signal. La figure suivante résume la représentation graphique de ces deux opérations.

 

Notation complexe

A toute fonction sinusoïdale d'amplitude a et de phase instantanée w t + j nous pouvons faire correspondre un nombre complexe défini par :

où j représente l'imaginaire pur : j2 = - 1 (notation de physicien). Dérivons cette fonction complexe par rapport à t :

La dérivation correspond à une multiplication par j w. Calculons la primitive de cette fonction complexe :

L'intégration se transforme en une division par j w.

Nous verrons dans les prochains paragraphes que l'utilisation de la notation complexe permet de simplifier la résolution des équations différentielles en régime permanent sinusoïdal.


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Dernière mise à jour : par Sylvain Tisserant