Rappels d'électrocinétique


Sylvain Tisserant - ESIL



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Index

Régimes transitoires

  1. Condensateur
  2. Inductance
  3. Charge d'un condensateur au travers d'une résistance
  4. Etablissement du courant au travers d'une bobine
  5. Décharge d'un condensateur au travers d'une bobine et d'une résistance

Décharge d'un condensateur à travers une bobine et une résistance

Nous considérons le circuit RLC suivant :

Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et qu'il ne circule aucun courant (interrupteur ouvert) : q(t=0) = q0 et i(t=0) = 0.

Avec notre choix d'orientation du sens positif pour le courant, nous avons :

Ce qui nous donne l'équation différentielle suivante :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre. Pour résoudre cette équation il faut chercher les racines de l'équation caractéristique associée :

Celle-ci a pour discriminant :

La valeur de la résistance pour laquelle ce discriminant est nul est appelée résistance critique :

Nous pouvons encore écrire le discriminant sous la forme :

Les solutions de l'équation différentielle sont différentes selon le nombre et le type des racines de l'équation caractéristique.

 

1er cas : R = Rc

L'équation caractéristique admet une racine double réelle :

L'équation différentielle admet alors pour solution :

Ce qui nous donne pour l'intensité :

Les constantes l et m sont définies par les conditions initiales :

Nous obtenons donc pour la solution globale :

Les figures suivantes illustrent l'allure de l'évolution temporelle de la charge du condensateur et de l'intensité au travers de la self. L'intensité est maximale pour t = t .

 

2ème cas : R > Rc

L'équation caractéristique a alors deux racines réelles distinctes :

de même signe car :

Ces deux racines sont donc négatives. Nous notons leurs valeurs absolues :

qui vérifient :

Les solutions de l'équation différentielle se mettent alors sous la forme :

Ce qui nous donne pour l'intensité :

Les paramètres l+ et l- sont définis par les conditions initiales :

Ce qui nous donne :

Soit en reportant dans les expressions de la charge et de l'intensité :

 

Les figures suivantes illustrent l'évolution temporelle de ces fonctions.

()

()

 

3ème cas : R < Rc

L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées :

Notons a et w les valeurs absolues des parties réelle et imaginaire de ces racines :

avec :

 

La solution générale de l'équation différentielle s'écrit alors :

Ce qui nous donne pour l'intensité :

Les constantes A et j sont déterminées par les conditions initiales :

Ce qui nous donne :

Soit en reportant dans les expressions de la charge q et du courant i :

Les figures suivantes montrent l'évolution temporelle de ces quantités. On observe des oscillations amorties.

()

()

 


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Dernière mise à jour : par Sylvain Tisserant